A veces soy tan dual…

En la vida nos topamos muchas veces con problemas que desde nuestro punto de vista parecen muy difíciles o irresolubles. Luego suele llegar alguien y dar una solución certera simplemente porque ha cambiado de punto de vista.

En física y matemáticas tenemos situaciones de este tipo y resulta que al cambiar el punto de vista con el que afrontamos la solución de un problema este se vuelve manejable y resoluble. Un ingrediente básico de este hecho es lo que se conoce como dualidad.

En esta entrada daremos una explicación pedestre de qué es la dualidad y cómo nos puede ayudar a resolver problemas. Luego daremos ejemplos de esta dualidad, muy por encima, así estaremos preparados para discutir algunos hechos de las teorías físicas actuales.

En un mundo muy lejano…

Permitidme una licencia literaria, vamos a pensar que nos encontramos con una civilización extraterrestre que es incapaz de multiplicar. Simplemente, no les entra en la mollera el concepto de multiplicación.

Estos amigos saben muy bien calcular la suma de dos números, los que sean. Así que una operación del tipo

x+y

les resulta muy fácil.

Sin embargo, si se encuentran con la necesidad de realizar la operación

xy

se encuentran con un problema insalvable.

Pero en ese momento aparece el genio de turno, ese que ve más allá, y descubre algo que denomina LOGARITMO (sí, lo sé, los logaritmos son más «difíciles» que las multiplicaciones, pero es una historia, no seáis quisquillosos). El logaritmo es una operación que transforma números en números.  Este aliengenio explica que si nos dan un número

x

se puede construir otro número

log(x)

Y tiene la maravillosa propiedad de que transforma multiplicaciones en sumas. ¡Fantástico!

Si los extraterrestres estos se encuentran con el insufrible problema de calcular

xy

para poder resolverlo solo tienen que aplicar el logaritmo:

log(xy)=log(x)+log(y)

Ese problema sí saben resolverlo, después de calcular eso solo tienen que invertir el logaritmo (la operación inversa también la han descubierto) y tienen el resultado deseado para el problema inicial.

Con esto han sido capaces de resolver un problema que inicialmente no parecía ser posible. Han cambiado el punto de vista.

Esta es la filosofía subyacente al uso de dualidades. Estas son elementos imprescindibles de las teorías físicas más actuales. Las dualidades en física son relaciones que convierten unas teorías en otras y que lo que es difícil de resolver en una de ellas se vuelve fácil (con muchos matices) en otra. El descubrimiento de las dualidades ha sido y es una fuente inagotable de nuevas ideas tanto en física como en matemáticas. A veces, lo más simple es cambiar el punto de vista.

Dualidades en física

Hay muchos ejemplos de dualidades en física. En esta sección vamos a comentar algunos de ellos y, con el tiempo, iremos profundizando en su significado, importancia y aplicaciones.

Dualidad onda-corpusculo

Esta es una famosa dualidad, los sistemas cuánticos parece que se comportan a veces como ondas y otras compo partículas en función de como los estemos estudiando.

Si trabajamos con fotones, estos pueden colisionar con partículas (Efecto Compton) y entonces los tenemos que estudiar como partículas. Por otro lado, pueden interferir entre ellos, y los tenemos que estudiar como ondas. El fotón es el fotón, lo que hacemos para poder describir estos fenómenos es cambiar nuestro punto de vista, o bien lo consideramos como partícula y aplicamos la teoría correspondiente, o bien lo consideramos como onda y hacemos lo que corresponde en ese caso.

Seguramente las cosas a nivel cuántico no sea ni ondas ni partículas, son lo que son, le decimos ondas o partículas porque les asignamos esas características para poder resolver determinados problemas que de otra forma no podríamos.

Dualidad Fuerte-débil

Las teorías físicas dan los siguientes ingredientes:

• Sus constituyentes, es decir, qué tipos de sistema describen. Generalmente a estos constituyentes se les asignan masas, espines, cargas… (se les asigna o se calculan en función de los principios de la teoría).
• Las interacciones entre estos constituyentes.

Las teorías nos tienen que decir como sus constituyentes se relacionan o interaccionan entre sí. Un elemento esencial es si las interacciones son fuertes o débiles. Eso viene codificado en lo que se conoce como constantes de acoplo, (generalmente se representa por g a estas constantes). Una constante de acoplo grande nos dice que las interacciones son muy intensas y una constante de acopolo pequeña nos dice que las interacciones son débiles.  Aquí no estamos hablando de la interacción fuerte en si misma o la interacción débil de las partículas elementales. Aquí nos referimos a la intensidad de la interacción, la que sea.

Generalmente, la física es más efectiva tratando las teorías con interacciones débiles, con las teorías fuertes tenemos más problemas tanto conceptuales como matemáticos.

Pues bien, hay una dualidad que relaciona teorías que describen interacciones fuertes con teorías que describen interacciones débiles. A esto se le denomina Dualidad-S.

La clave está en que si la teoría de interacción fuerte tiene una constante de acoplo g y cambiamos esta por 1/g el resultado será una teoría de interacción débil.

Si hacemos esto poemos aplicar lo que sabemos para interacciones de baja intensidad (débiles) resolver un problema, invertir la dualidad y encontrar el resultado que queremos en la teoría de alta intensidad.

Un ejemplo de esta dualidad es la dualidad electromagnética: «Frigodedos, frigopiés y monopolos…«. Luego describiremos otra.

Dualidad Grande-Pequeño

Hay teorías, como la de supercuerdas, que nos dicen que nuestro universo tiene que tener más dimensiones de las que vemos. Nosotros vemos cuatro dimensiones, así que las restantes tienen que estar compactificadas.  Por ejemplo:

1. Si nuestro universo tuviera solo una dimensión viviríamos en una línea.
2. Ahora los físicos nos dicen que en realidad nuestro universo tiene dos dimensiones pero que una de ellas no es extensa sino que está compactificada.
3. Nuestro universo sería entonces un cilindro cuya base tendría un radio R que sería muy pequeño y no podríamos verlo, así que a todas luces seguiríamos pensando que vivimos en una línea.

a) Consideramos que vivimos en una línea. b) En cada punto tenemos una dimensión extra compactificada en un círculo de radio R. Este radio es muy pequeño y no podemos verlo sin consumir mucha energía. c) Nuestro espaciotiempo por lo tanto es un cilindro más que una línea aunque no podamos verlo.

Pues bien, hay teorías que tienen una relación de dualidad si cambiamos el radio de las dimensiones extra, R, por su inverso, 1/R.  A esta dualidad se la denomina Dualidad-T.

Cuando se empezó a estudiar la teoría de cuerdas se vio que había 5 versiones con sentido de la teoría. Esto, para una teoría de unificación, es un desastre porque había 5 versiones y no sabíamos cómo decidir cual era la buena. Sin embargo, un estudio más detallado llevó a los físicos a darse cuenta de que estas teorías estaban interconectadas por dualidades. Es decir, cada una era una versión equivalente a otra ya sea cambiando las interacciones fuertes por débiles o cambiando el radio de compactificación de las dimensiones extra:

Esto llevó a la idea de que las teorías de cuerdas no eran más que «sombras» de una teoría más fundamental, la teoría M.  Todavía no hay una versión definitiva de tal teoría, pero las indicaciones son cada vez más fuertes y se está avanzando en ella.

Dualidad Gauge-Cuerdas, Gauge-Gravedad, AdS/CFT y otras cosas del querer

El uso y entendimiento de las dualidades está siendo muy fructífero en física y matemáticas. Desde el punto de vista físico hay muchas teorías que describen teorías gauge (las que explican las interacciones entre partículas) en un espacio de D dimensiones que son la sombra de una teoría gravitatoria (ya sea con cuerdas o no) en un espacio de dimensión D+1 que tiene al otro como frontera.

Esto está permientiendo que las teorías de cuerdas, que incluyen gravedad, puedan relacionarse con teorías gauge y eso hace que podamos intentar resolver problemas como el de la existencia de los hadrones. Los hadrones son partículas formadas por quarks y gluones, esto está descrito por la interacción fuerte (que es una interacción con una constante de acoplo grande, es decir, de gran intensidad) que no hemos podido resolver. Es decir, la mejor teoría que tenemos para explicar los hadrones no nos permite explicarlo. Gracias a las dualidades, podemos transformar este problema en un problema de teoría de cuerdas e intentar explicar la existencia de hadrones.

En este caso, la teoría de cuerdas no sería más (ni menos) que una herramienta, un cambio de punto de vista, para resolver un problema real. Durante los últimos tiempos esto ha sido un gran foco de atención para la teoría, usarla como modelo para resolver problemas que en otras teorías no se pueden resolver con facilidad. Sin duda, es otra sorpresa de la teoría de cuerdas.

Hay más aplicaciones que iremos tratando con el tiempo.

Conclusión

A veces lo mejor para resolver un problema es cambiar de punto de vista.

¡Usa la dualidad!

Nos seguimos leyendo…