Anomalías

Sí, hoy toca hablar de anomalías.

Según la RAE:

anomalía.

(Del lat. anomalĭa, y este del gr. ἀνωμαλία).

1. f. Discrepancia de una regla o de un uso.

2. f. Astr. Ángulo que fija la posición de un astro en su órbita elíptica, contado a partir de su eje mayor y en sentido de su movimiento.

3. f. Biol. Malformación, alteración biológica, congénita o adquirida.

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En esta entrada la intención es dar la idea de las llamadas anomalías cuánticas y su importancia en el estudio de la estructura de una teoría cuántica de campos.  No entraremos en profundidades por el momento, pero este campo de estudio es interesante desde el punto de vista físico y matemático.

Como hemos comentado por aquí en más de una ocasión, y si sois lectores de blogs de divulgación también os habrán hablado de ello, hay cierta tensión entre la física clásica y la cuántica. Esta tensión se manifiesta de múltiples y variadas maneras, una de las más entretenidas es la aparición de anomalías cuando pasamos una teoría de su versión clásica a su versión cuántica.  ¿Quieres tener una idea de lo que son esas anomalías? ¿Sí? Pues tendrás que seguir leyendo.

Simetrías y cantidades conservadas

Ya hemos hablado de simetrías en física y su relación con las cantidades conservadas como la energía, el momento lineal o el momento angular. En esta sección repasaremos esta relación.

Los físicos tienen la esperanza de que la suya sea una ciencia robusta, ¿en qué sentido?  Pues lo que esperan es que la física sea la misma en cualquier instante, en cualquier posición y en cualquier dirección.

Vamos, que si hacemos un experimento esperamos que salga lo mismo independientemente de la hora del día en el que lo hagamos, independientemente de donde se sitúe el laboratorio donde lo realicemos e independientemente de la orientación de dicho laboratorio.  Es una suposición la mar de razonable, ¿no?

Pues bien, hay un teorema matemático, el teorema Nöther que nos dice que si nuestras leyes de la física son invariantes bajo traslaciones temporales o espaciales y bajo rotaciones (cambios de dirección), aparecen cantidades conservadas, la energía, el momento lineal y el momento angular, respectivamente.

Para ampliar este tema:

Una entrada presentando el tema a un nivel popular:

Gauge esto, gauge lo otro… ¿Qué es una teoría gauge?

Otras dos entradas algo más formales:

Simetrías y Cantidades conservadas: El teorema Nöther

Teorema Nöther: Corrientes y cargas conservadas

Hay otro tipo de simetrías muy importantes en física, las simetrías gauge.  Estas son las responsables de dos hechos fundamentales:

1.-  Si la simetría es global —>  Entonces define cargas. Las cargas son las características de las partículas y los campos que les permiten interactuar entre ellos.

2.-  Si la simetría es local —>  Entonces se definen las interacciones. Las simetrías gauge locales son las que definen las distintas interacciones (no gravitatorias) entre partículas y campos.

La importancia de las simetrías gauge radica en que gracias a ellas podemos construir teorías cuánticas de las interacciones que se comportan correctamente y nos permiten producir predicciones que después intentamos comprobar en los laboratorios.

Permitidme insistir:  Aquí se discutió las teorías gauge de un modo pictórico: Gauge esto, gauge lo otro… ¿Qué es una teoría gauge?

De lo clásico a lo cuántico

Generalmente cuando un físico quiere hacer una teoría sobre alguna interacción y las partículas y campos que la sufren empieza diseñando una teoría clásica. Es decir, se olvida de la cuántica y construye objetos que son clásicos y no sujetos al principio de indeterminación de Heisenberg por remarcar una característica intrínseca al formalismo cuántico.

Esta teoría clásica se construye haciendo un estudio de las simetrías que uno quiere que tenga y eso constriñe las posibilidades matemáticas de definición de dicha teoría.  Aquí la simetría juega un papel importante ya que dictamina de un modo determinante, aunque no unívoco en la mayoría de las ocasiones, la forma matemática que tiene la teoría que buscamos.

Una vez establecida dicha teoría se ha de proceder a traducir la misma a la matemática asociada a la cuántica. Este paso es complicado, conceptual y matemáticamente hablando, y hay diversas formas de hacerlo. Si somos afortunados y nuestro sistema es más o menos bien comportado todas estas formas de pasar de un formalismo clásico a uno cuántico nos darán, como resultado final, la misma teoría cuántica. Si no es el caso, si los resultados finales nos dan teorías que no son equivalentes uno tiene que recurrir al experimento para discriminar qué modelo es el acertado.

Más detalles en:  Esto… una pregunta… ¿qué es cuantizar?

Aquí es cuando nos podemos preguntar lo siguiente:

¿Respeta la teoría cuántica las simetrías clásicas de las que hemos partido?

Es de vital importancia responder a esta pregunta porque, como hemos discutido, las simetrías nos aportan mucha información sobre la teoría y sobre los fenómenos físicos que puede describir.

En cierto sentido, las simetrías físicas, y por consiguiente las cantidades conservadas asociadas, nos imponen prohibiciones sobre lo que es posible y lo que no es posible en un determinado contexto físico.

Es evidente que uno no puede producir un proceso físico que requiera más energía de la que hay disponible, esto es lo que impone el principio de conservación de la energía.

Anomalías cuánticas

Puede ocurrir que en el proceso de paso de lo clásico a lo cuántico las simetrías originales de la teoría clásica no lo son de la teoría cuántica. A estas «pérdidas» de simetría en la teoría cuántica se las denominan anomalías. Esto es una sorpresa y tiene graves consecuencias.  Si se da este caso podemos encontrarnos en las siguientes situaciones:

Una simetría clásica se rompe globalmente en la teoría cuántica

Este caso es muy útil, ¿por qué?

Porque lo que nos muestra esta situación es que hay procesos que no estarían permitidos en una teoría clásica, la simetría y las leyes de conservación lo prohibirían, pero en la teoría cuántica son perfectamente posibles y de hecho ocurren.

Así que en este caso las anomalías cuánticas son interesantes y beneficiosas en cierto sentido. Están menos constreñidas que sus análogas clásicas y por lo tanto su física es más rica de lo previsto incialmente.

Una simetría gauge clásica se rompe localmente

Este caso es un desastre.

La teoría gauge con simetría local es la que define la propia teoría y la propia interacción que se está describiendo. Si en el paso de la teoría clásica a la cuántica perdemos esta simetría a un nivel local (en cada punto de nuestro espacio) entonces estamos perdiendo la posibilidad de describir justo lo que queremos, la interacción.

Si en la cuantización aparecen anomalías locales significa que hemos incurrido en un grave error y que tenemos que buscar la forma de que estas se cancelen para que la teoría tenga sentido.

Un ejemplo famoso, pero no muy conocido a nivel «íntimo», es el requerimiento de las dimensiones extra de la teoría de cuerdas. Su origen está en una anomalía cuántica. Esta anomalía desaparece si extendemos las dimensiones del espaciotiempo de 4 a 26 (en el caso de la cuerda bosónica).  Para más detalles:  Háblame de cuerdas, dimensiones y supercosas.

Este tema es ciertamente duro, de hecho es uno de los temas de mayor complejidad técnica en teoría cuántica de campos. Aún así he querido escribir esta entrada para mostrar un aspecto más sobre la delicada relación entre lo clásico y lo cuántico y de como, a veces, las cosas que nos parecen anómalas ayudan a desentrañar la verdadera naturaleza de las teoría que proponemos para describir la naturaleza.

Para profundizar

Un trabajo técnico muy bueno para profundiar en el tema de las anomalías es:

Lectures on Anomalies (Bilal, 2008)

Para anomalías en general, con cierto incapié en su aparataje matemático y en teoría de cuerdas:

TASI2003 Lectures on Anomalies (Harvey, 2005)

Nos seguimos leyendo…