Física para inquisidores

Hola gentes, aquí estamos de nuevo. Ha pasado mucho tiempo desde que no pasábamos por casa, me refiero a este blog. Los motivos son todos laborales, falta de tiempo y tal, pero no os aburriré con mi vida porque para eso siempre hay tiempo. El otro día me volví a poner en contacto con el mundo blog con una entrada para Naukas. La entrada iba sobre la posibilidad de tener agujeros negros cargados. A mi entender era una entrada bonita y que aclara una pregunta que me han hecho mil veces sobre los agujeros negros: ¿Cómo es posible que los agujeros negros puedan estar cargados?

El caso es que la entrada ha suscitado el interés de unas buenas gentes que se han puesto el título de inquisidores del mundo de la divulgación. Su tarea no es otra que denunciar y aclarar, en la medida de lo posible, los fallos y errores que cometen los divulgadores en su quehacer. Y claro, mi entrada por lo visto estaba llena de fallos y de cosas inapropiadas. Tengo que reconocer que la inquisición no es una de mis instituciones históricas favoritas, para mí siempre ha sido mucho mejor que me corrigiera Mary Poppins, Coco o el Barbas de Érase una vez la Vida. Pero bueno, eso es cuestión de gustos. La entrada que critica mi entrada está aquí:

De cargas y agujeros negros

Yo, aunque insisto en que los procedimientos inquisitoriales están bastante alejados de mis gustos personales y bastante alejados del espíritu científico, leí con fruición y deleite la entrada que me habían dedicado. Siempre es un honor que hablen de ti aunque sea mal. Y, oh, para mi sorpresa y desasosiego descubro apesadumbrado que estos incipientes Torquemadas de la divulgación no han dado ni una, sus explicaciones son erróneas y cometen errores que van desde no haber entendido la lectura hasta una profunda y notabilísima falta de conocimiento de la física de la que están hablando. Pero qué se puede esperar, esa siempre ha sido una de las características de toda inquisición que se precie. Eso sí, la terminología y las palabrejas técnicas la dominan como dios, lo malo es que los argumentos fallan estrepitosamente. Todo esto, ni que decir tiene, dicho sin acritud ninguna.

Dado que en las redes les dije que la entrada era un monumental mojón y me han pedido que demuestre tamaña afirmación. Aquí van estas bonitas líneas. A esta clase invito yo.

Nota: La entrada no pretende enseñar nada ni ser divulgativa o educativa. Es literalmente una medida de ego. Yo soy así. Así que si te aburres a la tercera línea de lo que sigue me parece muy bien que dejes de leer y me dediques algún improperio que otro. La entrada está pensada para excelsos inquisidores de la ciencia que saben de lo que hablan.

La primera crítica: Definición de campo eléctrico

Parece ser que sus mentes inquisitoriales se han visto agredidas por esta definición de campo eléctrico que usé en la entrada referida de Naukas:

El campo eléctrico es una característica que adquiere el espacio cuando hay cargas eléctricas en su seno.

La crítica a esto comienza tal que así:

“Esta definición nos dejaría sin ondas electromagnéticas…”

¿Mande?

Disculpen sus inquisitoriales personas pero en ningún momento he dicho que los campos tengan que ser estáticos o que puedan o no depender del tiempo. Así que para empezar, empezamos mal.

Siguen tal que así:

“El campo eléctrico puede y debe existir aunque no haya carga eléctricas. Como se puede ver en las ecuaciones de Maxwell, su fuente puede ser la carga o un campo magnético que cambie con el tiempo”.

Eso sí, las ecuaciones de Maxwell se les olvida mostrarlas o explicarlas. Y bueno, en eso tienen razón, que el campo eléctrico puede existir en zonas donde no hay cargas es lógico. De hecho, si atendemos a la definición que yo di en mi entrada lo que se dice es que el campo es una característica del espacio (entendamos espaciotiempo, pero usaré espacio solo para ahorrar tiempo y espacio – Esto es un chiste). Por tanto, si tenemos cargas se crea un campo en todo el espacio(tiempo) y por lo tanto si yo ahora me fijo en una región lejos de las cargas yo veré un campo sin cargas ninguna. Esperad, que esto Coco lo explica de maravilla.

Podemos ir a las ecuaciones de Maxwell todo lo que queramos, pero si no existieran cargas de ningún tipo no habría campos eléctricos de ningún tipo. Es decir, necesitamos las cargas para que generen los campos y luego las ecuaciones de Maxwell nos dicen que una vez generados estos campos magnéticos y eléctricos se pueden generar unos a los otros sin, en este caso, necesitar de carga alguna. Dichos campos han de ser variables en el tiempo y tal. De ahí derivan las ondas electromagnéticas.

De todas formas, en la entrada queda claro por el contexto que estamos hablando de cargas estacionarias, por lo que aquí las ecuaciones de Maxwell son única y exclusivamente las que dan el campo eléctrico estático, la ley de Gauss (explicada en la entrada Naukas).

No contentos con esto, siguen para bingo.

Crítica a la ley de Gauss

“La explicación de la ley de Gauss es bastante clara, aunque se centre en ejemplos muy simples”

Bueno, la verdad es que no quería dar un curso de doctorado sobre esta bonita ley pero si queréis nos ponemos a ello inmediatamente por un módico precio.

“… pero tenemos problemas serios con:

1. Que la ley de Gauss sea válida porque la carga eléctrica sea una magnitud conservada.
2. Que la conservación de la carga se sigue del Teorema de Noether”

No tenéis que jurar que tenéis problemas serios con estos puntos. Se hace más que evidente en lo que sigue.

“En realidad la ley de Gauss es una consecuencia de las leyes de Maxwell y de la propia definición de carga eléctrica como integral de la densidad de carga eléctrica sobre el volumen considerado. Sin más.”

De esta parte me encanta el — Sin más–. Es como muy asertivo, como un golpe de autoridad en la mesa de la verdad. Lástima que sea una cagada. Para empezar analicemos esta frase:

«La propia definición de carga eléctrica como integral de la densidad de carga eléctrica sobre el volumen considerado».

Veamos que dice el Barbas sobre esto:

Sí amigos, aquí están definiendo la carga eléctrica como la carga eléctrica dividida por un volumen y multiplicada por un volumen. Vamos que han definido la carga eléctrica como la carga eléctrica.

No lo tengo muy fresco pero creo que recordar que estaba feo usar un concepto en su propia definición.

Y luego está lo de que la ley de Gauss es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell cuando lo cierto es que la ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell para situaciones estacionarias. Pero bueno, esta es más pasable que la anterior.

Ahora vamos con las conservaciones

“La conservación de la carga eléctrica, con esa definición, se sigue de la consistencia de las leyes de Maxwell: No puede haber fuentes del campo electromagnético que no obedezcan la ecuación de continuidad (de la cual sigue la conservación de la carga). En otras palabras, no hay campos electromagnéticos que satisfagan esas ecuaciones y que no estén asociados a fuentes conservadas”.

Permitidme explicar esta parrafada. Aquí lo que se dice es que tú tienes las ecuaciones de Maxwell y que además hay una condición de consistencia en dichas ecuaciones que es eso que se llama ecuación de continuidad.

La ecuación de continuidad nos dice que si tu tienes algo en una región y hay flujos de ese algo entrando o saliendo de dicha región. La suma de lo que entra y lo que sale es igual a lo que varía dicha cantidad en dicha región.

Estas ecuaciones de continuidad siempre están asociadas a cantidades conservadas y, adivinad qué, estas ecuaciones de continuidad nos las proporciona el teorema de Noether.

Aquí hay que responder dos preguntas:

1. ¿De dónde salen las ecuaciones de Maxwell?
2. ¿De dónde sale la ecuación de continuidad?

Nuestros inquisidores favoritos no han explicado eso, solo aceptan las ecuaciones de Maxwell (que se construyeron históricamente hablando sobre la base de resultados empíricos) y aceptan que tienen que respetar cierta relación de consistencia (que tampoco explican de donde procede).

Luego siguen con esto:

“Que la conservación de la carga eléctrica esté asociada a la consistencia de las ecuaciones, a que, de hecho, existen relaciones entre ellas y no son independientes, tiene una importancia fundamental. Cuando hay sistemas descritos por ecuaciones que no son independientes, es que hay libertad gauge. Hay simetrías locales en dicho sistema. Hay transformaciones que dejan el sistema invariante pero que pueden ser diferentes en cada punto del espaciotiempo”

Si alguien ha entendido algo, siempre que no sea doctorado en física, que levante la mano. Yo lo intenté explicar aquí:

Los teoremas de Noether en Cuentos Cuánticos

Oh, sí, eso es lo que explican los teoremas de Noether.

Ahora es cuando empieza el lío gordo:

“Estamos acostumbrados a transformaciones (rotaciones, traslaciones…) que tienen la misma forma en todas partes. Rotamos o desplazamos todo el espacio en bloque. Estas se suelen llamar transformaciones globales o rígidas, para distinguirlas de las locales o gauge (o, si has estudiado en algunas universidades carpetovetónicas que es mejor no nombrar, de aforo, de contraste o de calibre). El famoso teorema de Noether nos dice que hay una cantidad que se conserva en un sistema que es invariante bajo algunas de estas transformaciones globales. De éstas hay muchas, y de ello se siguen, además de la conservación del momento y la energía, cosas como la conservación del número leptónico”.

Esta es una explicación jodidamente mala del teorema de Noether. Supongo que sus excelencias inquisitoriales están escribiendo únicamente para gentes con doctorados en física y no para todas esas gentes. Insisto, aquí está explicado un poco más mundanamente:

Los teoremas de Noether en Cuentos Cuánticos

Pero bueno, quitando que es una muy mala explicación del teorema (del primero y del segundo), además cometen un error grave y muy gordo. Cosa sorprendente ante tan doctas mentes. Sí, estamos hablando sobre el número leptónico y su “conservación”.

Bueno, para empezar no han explicado qué es el número leptónico. Ya lo hago yo.

Número leptónico

Aquí tenemos las partículas fundamentales del modelo estándar:

Ahí hay unas partículas llamadas leptones que solo sienten la interacción electromagnética, si tienen carga, y la interacción débil, todas ellas. Las partículas se llaman, electrón, muón y tau, tienen la misma carga eléctrica negativa pero la masa del muón es mayor que la del electrón y la del tau es mayor que la del muón. Muón y tau son como los electrones pero entraditos en carnes. Todas ellas tienen espín 1/2.

Luego tenemos los neutrinos, estas partículas son neutras así que solo sienten la interacción débil y hoy día sabemos que tienen que tener masa, al menos dos de ellas.

En el modelo estándar, que sabemos que no es la teoría definitiva de la materia, se producen reacciones entre partículas y resulta que en las reacciones que involucran leptones (las partículas de las que hablamos) siempre van en pares dentro de la misma columna. Dicho de manera más formal, los vértices de la interacción débil no mezclan sabores (esto es para inquisidores).

Ahora, podemos inventar tres números, el número Leptónico electrón, que asigna el valor +1 a electrones y neutrinos electrónicos. El número leptónico muón, que asigna el varlor +1 a muones y neutrinos muónicos y análogamente para el número leptónico tau.

Aquí en una tabla:

En las reacciones entre partículas fundamentales descritas por el modelo estándar este número se comporta como si estuviera conservado:

¿Es el número leptónico una cantidad conservada de verdad?

Pues no, no lo es. Por ejemplo, esos neutrinos de los que hemos hablado sufren un proceso denominado oscilación. Este proceso convierte neutrinos de un tipo en neutrinos de otro tipo. Tú creas neutrinos tipo muón, por ejemplo, los dejas propagarse por el espacio y cuando los detectas unos kilómetros más allá, encuentras que lo que te llega es una mezcla de los tres tipos de neutrinos conocidos. Eso viola muy duramente la invariancia del número leptónico para cada sabor.

Supongo que nuestros inquisidores de cabecera podrán explicar este fallito de argumentación. La razón es que el número leptónico no está asociado a ninguna simetría global o local.

O al menos nuestro queridos inquisidores podrán decirnos bajo qué grupo de transformaciones continuas se supone que se obtiene la carga conservada número leptónico.

El número leptónico se preserva en el modelo estándar porque, como hemos dicho, los vértices de la interacción débil no mezclan sabores.

Pero eso es una característica propia del modelo estándar y no de una simetría gauge, ni local ni global, de la naturaleza. De hecho, se sabe que las interacciones quirales violan el número leptónico y que las necesarias extensiones del modelo estándar también predicen violaciones de este número, como por ejemplo los modelos supersimétricos.

Continuemos:

“Sin embargo, acabamos de decir que la conservación de la carga eléctrica no está asociada a una invariancia global, sino local, por lo que este teorema no se puede aplicar”.

Parece que se acaba aquí la cosa y bueno, si hubieran acabado aquí al menos el discurso sería consistente, consistente aunque totalmente erróneo, pero…

“(Ojo: si hay invariancia local, también la hay global, pero se puede demostrar que en este caso en el que global es un caso particular de local, la ecuación de continuidad es trivial y no lleva, por sí misma, a ninguna cantidad conservada)”

Esto es una mamarrachada inquisitorial. Resulta que como bien dicen, si hay simetría local también la hay global. Por tanto aplica el teorema de Noether, el primero, y también el segundo. Y no, no se obtienen ecuaciones de continuidad triviales (que no sé qué significa eso).

Permitidme que os haga un croquis:

Así que lo que han dicho nuestros inquisidores de referencia es una soberana patada a la Dra Noether en todo su teorema.

«En realidad, lo que se aplicaría es el segundo Teorema de Noether (el anterior es el primero), que dice, justamente, que si hay invariancia bajo transformaciones locales, las ecuaciones del movimiento del sistema no son independientes, como habíamos dicho».

Dice eso, con matices, y dice que hay que meter campos adicionales (los campos gauge) para asegurar la invariancia de la acción bajo el grupo de transformaciones continuas en cuestión en cada caso. Para el electromagnetismo es el grupo U(1).

«Pero ¡¿qué lo mismo da?! dirá más de uno, si lo cierto es que, por hache o por be, la carga eléctrica se conserva y por eso la conserva el agujero negro… Pero observesé que hemos dicho, justamente, que como consecuencia del primer teorema hay más cargas conservadas, como el número leptónico. Y que sin embargo, nadie espera que los agujeros negros tengan un número leptónico definido.»

Esto está mal, ya lo hemos comentado 🙂 Nadie espera que tengan número leptónico definido. Para empezar porque no tenemos una teoría de la gravedad cuántica, siguiendo con que el modelo estándar no es la última teoría de la materia, y finalizando con que el número leptónico no se obtiene por ninguna simetría bajo ningún grupo continuo de transformaciones. Esas cosillas.

«La razón es que sólo se espera (ojo, que lo de los pelos de los agujeros negros no es un teorema universal) que un agujero negro pueda tener y conservar las cargas cuya conservación se deba a simetrías locales (por el mecanismo indirecto que hemos explicado), y no las cargas conservadas asociadas a simetrías globales.»

Me remito al croquis. Las invariancias locales siempre tienen versión global.

«Por eso es importante que la conservación de la carga no se deba al primer teorema de Noether, como incorrectamente se dice en la entrada del blog. Y de ahí la necesidad de purificarlo sin llegar al punto de tener que llevarlo a la hoguera»

Yo le daría una vueltecita más a lo de los teoremas oye… Se ve que en la inquisición están más puestos en hogueras que en teoremas de Noether.

«Entonces, seguirán diciendo algunos, ¿por qué el agujero puede tener energía (y momento si se mueve), si la conservación de la energía está asociada al primer teorema de Noether? Pues porque en la Relatividad General no es así: Las traslaciones temporales o espaciales son casos particulares de transformaciones locales (difeomorfismos, transformaciones generales de coordenadas) y la conservación de la energía y del momento se deducen de una manera indirecta muy similar a la de la carga eléctrica en el electromagnetismo»

Esto está muy bien, salvo que no aplica. Como bien sabrán nuestros inquisidores (ahora la cosa se pone muy técnica) el teorema de Noether se aplica estupendamente en relatividad general siempre y cuando podamos definir vectores de Killings asociados con isometrías de la teoría. Transformaciones que transforman la métrica de forma que se aprecian simetrías. Si la entrada hubiera sido una parte de un curso de doctorado, que no lo era, hubiera explicado que estabamos en el contexto de agujeros negros clásicos y estacionarios. Que las magnitudes de las que se hablan siempre están referidas a observadores estacionarios en la parte asintótica del campo gravitatorio y que por lo tanto hay definidos todos los Killing que queramos y eso hace que la aplicación del teorema de Noether sea trivial (en este caso sí está bien empleada esta palabra) y nos da las cantidades conservadas asintóticas que queramos, energía, momento, momento angular, etc.

Así que estoy muy agradecido por la crítica. Espero que tengamos más oportunidades de encontrarnos y de verdad espero que la próxima vez las críticas tengan algún sentido. Por el momento, solo puedo concluir con:

Nos seguimos leyendo…